Le chant des lignes
En 1887, le mathématicien italien Vito Volterra publie quelques articles introduisant les notions de "fonction qui dépend d’une autre fonction" et de "fonction de lignes" et ouvre ainsi un nouveau chapitre de l’analyse. Quinze ans plus tard, Hadamard trouve dans ces textes un matériau adéquat pour aborder d’une nouvelle façon des problèmes d’équations aux dérivées partielles et d’équations intégrales. Il publie à son tour quelques travaux où il introduit le terme de fonctionnelle et utilise le formalisme de Volterra pour traiter des problèmes variationnels avec frontière mobile. Volterra et Hadamard entreprennent à partir de 1904 une correspondance suivie et leur convergence scientifique se lit dans leur présidence commune d’une session sur l’analyse fonctionnelle au congrès international de Heidelberg. Dans le même temps, Fréchet, tout juste sorti de l’Ecole Normale Supérieure et cherchant un sujet de thèse, sur les conseils de Borel s’adresse à Volterra pour l’interroger sur l’opportunité d’entreprendre un prolongement de sa théorie. C’est en se livrant à cette étude et en découvrant les travaux d’Arzelà que Fréchet comprend l’intérêt qu’il peut y avoir à une voie abstraite en analyse fonctionnelle qui le conduira à sa thèse de 1906 et à son travail sur les espaces abstraits.