La longue « genèse » de la théorie des treillis de Dedekind
Dans deux articles publiés en 1897 et 1900, Richard Dedekind s’intéresse à une nouvelle notion, le Dualgruppe, qui correspond à ce que nous appelons aujourd’hui un treillis. Ce concept, dont la généralité fait, pour Dedekind, l’utilité et la fécondité, a été développé – nous dit-il – après de longs efforts pour parvenir à en identifier les lois fondamentales. De fait, il est possible d’identifier, grâce aux indications de Dedekind lui-même, l’origine des Dualgruppen dans des travaux de théorie des modules de vingt ans plus tôt.
Après avoir introduit des opérations entre modules, Dedekind observe une certaine dualité dans les théorèmes qui en résultent, ce qui l’incite à pousser plus loin son étude. Il étudie d’abord ces opérations entre modules, puis des groupes de modules appelés Modulgruppen, puis les Dualgruppen qui généralisent ceux-ci. Dans le Nachlass de Dedekind se trouvent plusieurs centaines de pages de recherches, dans lesquelles se mêlent calculs, tables, brouillons d’articles abandonnés, montrant la formation lente et graduelle du concept de Dualgruppe.
Ces brouillons donnent à voir le long travail d’exploration mené par Dedekind, à travers des calculs souvent répétés avec des petites variations ou des tentatives de généralisation, qui disparaissent largement de la publication pour faire place à une approche plus générale et ’axiomatique’.
Je proposerai de tirer avantage de la porte ainsi ouverte sur son processus de recherche, afin d’analyser différents états et étapes de son travail, à partir de la théorie des modules à la fin des années 1870. Mon exposé tentera de clarifier trois éléments principaux (et liés) : la pratique du calcul dans la recherche de Dedekind, les liens avec la théorie des groupes, et enfin le rôle joué par la dualité.